Eine Bruchgleichung ist eine Gleichung, in der eine oder mehrere incognita als Bruch auftreten. Dabei ist es unerheblich, ob der Bruch einen ganzzahligen oder nicht ganzzahligen Zähler hat. Im zweiten Fall spricht man auch von einer irrationalen Gleichung. Eine Bruchgleichung ist also eine Gleichung der Form:
ax + b = cx + d, wobei a, b, c, d ganze Zahlen sind und x die incognita ist.
Die Lösung einer Bruchgleichung ist demzufolge eine Zahl x, die die Gleichung erfüllt. Eine solche Gleichung kann eine oder mehrere Lösungen haben. Im ersten Fall spricht man von einer eindeutigen Lösung, im zweiten von einer unendlichen Lösungsmenge. Eine Gleichung hat jedoch immer genau eine Lösung, wenn a, b, c und d ganze Zahlen sind und keiner der beiden Bruchzähler gleich Null ist. Die Lösung einer Bruchgleichung kann man graphisch darstellen, indem man die Bruchterme auf eine Gerade aufaddiert und nach der Schnittpunkt mit der y-Achse sucht. So ergibt sich für die Gleichung:
x/3 + 2 = 1/4x + 5/2
die graphische Darstellung:
Der Schnittpunkt der beiden Geraden liegt bei x=-1 und y=7/2. Dies bedeutet, dass -1 die einzige Lösung der Gleichung ist. Die Lösung einer Bruchgleichung kann man auch durch Substitution finden. Dazu wird die x-Incognita durch eine andere Variable ersetzt und die Gleichung nach dieser aufgelöst. So ergibt sich für die Gleichung:
x/3 + 2 = 1/4x + 5/2
die Substitution y=4x. Dies führt zur Gleichung:
4x/3 + 8/3 = y + 5/2
Diese Gleichung ist nun linear und kann aufgelöst werden. So ergibt sich:
y = -1
Einsetzen von y in die ursprüngliche Gleichung ergibt:
x/3 + 2 = -1/4x – 5/8
Auflösen der Klammern ergibt:
x/3 – 1/4x = -2 – 5/8
Addition der Bruchterme auf beiden Seiten der Gleichung ergibt:
-1/12x = -29/12
Multiplikation der beiden Seiten der Gleichung mit -12 ergibt:
x = 29
Dies ist die einzige Lösung der Gleichung. Wenn man sich die Lösungen einer Bruchgleichung graphisch vorstellen möchte, kann man dies am besten mit Hilfe eines Koordinatensystems tun. So ergibt sich für die Gleichung:
x/3 + 2 = 1/4x + 5/2
die Lösung x=-1 als Schnittpunkt der beiden Geraden:
Arbeitsblätter Bruchgleichungen.
Arbeitsblätter Bruchgleichungen
Diese Arbeitsblätter beinhalten Aufgaben und Übungen zum Lösen von einfachen und erweiterten Bruchgleichungen. Die Arbeitsblätter sind so konzipiert, dass sie sowohl in der Schule als auch zu Hause verwendet werden können.
Aufgaben
1. Löse die folgende einfache Bruchgleichung: 2x/3 = 4/5
2. Löse die folgende erweiterte Bruchgleichung: (4x+1)/5 = (3x-2)/4
3. Löse die folgende erweiterte Bruchgleichung: (5x-3)/8 = (2x+1)/3
Übungen
1. Löse die folgende einfache Bruchgleichung: 4/5 = 2x/3
2. Löse die folgende erweiterte Bruchgleichung: (3x+2)/4 = (4x-1)/5
3. Löse die folgende erweiterte Bruchgleichung: (8x+3)/5 = (3x-1)/2
Aufgaben mit lösungen Bruchgleichungen.
Bruchgleichungen sind eine Art von Gleichungen, in denen eine oder mehrere Ungleichheiten auftreten können. Die Lösung einer Bruchgleichung besteht darin, die Ungleichheiten zu lösen und dann die Lösungen in die Gleichung einzusetzen.
Eine einfache Bruchgleichung kann folgendermaßen aussehen:
2x + 3 < 5x - 7
In dieser Gleichung können wir zwei Ungleichheiten lösen:
2x + 3 < 5x und 5x < -7
Die Lösungen für diese beiden Ungleichheiten sind x < 2 und x < -1,4. Dies bedeutet, dass x alle Werte annehmen kann, die kleiner als 2 oder kleiner als -1,4 sind. Wir können diese Lösungen in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und erhalten:
2(2) + 3 < 5(-1,4) - 7
Diese Gleichung ist nicht mehr wahr, da die linken und rechten Seiten ungleich sind. Dies bedeutet, dass es keine Lösung für die ursprüngliche Gleichung gibt.
